정칙 함수

3. 성질

복소 미분은 선형이며 곱, 몫, 연쇄 법칙을 따르므로, 정칙 함수의 합, 곱 및 합성은 정칙 함수이고, 두 정칙 함수의 몫은 분모가 0이 아닌 곳에서 정칙 함수이다.^[12] 즉, 함수 f^영어와 g^영어가 영역 U^영어에서 정칙 함수이면 f+g^영어, f-g^영어, fg^영어, f \circ g^영어도 정칙 함수이다. 또한 f/g^영어는 g^영어가 U^영어에서 0을 갖지 않으면 정칙 함수이고, 그렇지 않으면 유리형 함수이다.

C^영어를 실수 평면 R^2^영어로 식별하면 정칙 함수는 두 개의 실수 변수를 가지며, 연속적인 1차 도함수를 가지고 코시-리만 방정식을 푸는 함수와 일치하며, 이는 두 개의 편미분 방정식 세트이다.^[6]

모든 정칙 함수는 실수부와 허수부 f(x + iy) = u(x, y) + i\,v(x,y)^영어로 분리될 수 있으며, 이들 각각은 R^2^영어에서 조화 함수이며 (각각 라플라스 방정식 \nabla^2 u = \nabla^2 v = 0^영어을 만족하며), v^영어는 u^영어의 조화 공액 함수이다.^[13] 반대로, 단일 연결 영역 \Omega \subset R^2^영어에서 모든 조화 함수 u(x, y)^영어는 정칙 함수의 실수부이다. v^영어가 상수까지 고유하게 u^영어의 조화 공액 함수이면 f(x + iy) = u(x, y) + i\,v(x, y)^영어는 정칙 함수이다.

코시의 적분 정리는 모든 정칙 함수의 폐곡선에 대한 선적분이 0임을 의미한다.^[14]

:$\backslash oint\_\backslash gamma\; f(z)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z\; =\; 0.$

여기서 \gamma^영어는 시작점이 끝점과 같은 단일 연결 복소 영역 U \subset C^영어의 가향 경로이며, f \colon U \to C^영어는 정칙 함수이다.

코시의 적분 공식은 원판 내의 모든 정칙 함수는 원판의 경계에서 값에 의해 완전히 결정된다고 명시한다.^[14] U \subset C^영어가 복소 영역이고, f\colon U \to C^영어가 정칙 함수이며, 닫힌 원판 가 U^영어에 완전히 포함되어 있다고 가정한다. \gamma^영어가 D^영어의 경계를 형성하는 원이라고 하자. 그러면 D^영어의 내부에 있는 모든 a^영어에 대해:

:$f(a)\; =\; \backslash frac\{\; 1\; \}\{2\backslash pi\; i\}\; \backslash oint\_\backslash gamma\; \backslash frac\{f(z)\}\{z-a\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z$

여기서 폐곡선 적분은 반시계 방향으로 취해진다.

도함수 는 코시의 미분 공식을 사용하여 폐곡선 적분으로 쓸 수 있다.^[14]

:$f\text{'}\backslash !(a)\; =\; \backslash frac\{\; 1\; \}\{2\backslash pi\; i\}\; \backslash oint\_\backslash gamma\; \backslash frac\{f(z)\}\{(z-a)^2\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z,$

a^영어 주위를 한 번 양수로 감는 모든 단순 폐곡선에 대해, 그리고

:$f\text{'}\backslash !(a)\; =\; \backslash lim\backslash limits\_\{\backslash gamma\backslash to\; a\}\; \backslash frac\{\; i\; \}\{2\backslash mathcal\{A\}(\backslash gamma)\}\; \backslash oint\_\{\backslash gamma\}f(z)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash bar\{z\},$

a^영어 주위의 무한소 양수 폐곡선 \gamma^영어에 대해.

1차 도함수가 0이 아닌 영역에서 정칙 함수는 등각 사상이다. 즉, 각도와 작은 도형의 모양(크기는 아님)을 보존한다.^[15]

모든 정칙 함수는 해석적 함수이다. 즉, 정칙 함수 f^영어는 영역 내의 각 점 a^영어에서 모든 차수의 도함수를 가지며, a^영어의 근방에서 자체 테일러 급수와 일치한다. 실제로 f^영어는 해당 점을 중심으로 하고 함수 영역 내에 있는 모든 원판에서 a^영어에서의 테일러 급수와 일치한다.

대수적인 관점에서, 열린 집합에 대한 정칙 함수의 집합은 가환환이자 복소 벡터 공간이다. 또한 열린 집합 U^영어의 정칙 함수의 집합은 열린 집합 U^영어가 연결되어 있는 경우에만 정역이다.^[7] 실제로, 이는 콤팩트 집합에 대한 상한인 반노름을 갖는 국소 볼록 위상 벡터 공간이다.

기하학적 관점에서, 함수 f^영어는 z_0^영어의 근방 U^영어에서 외미분 df^영어가 f'(z)\,dz^영어와 같을 때, 어떤 연속 함수 f'^영어에 대해 z_0^영어에서 정칙 함수이다.

:$0\; =\; \backslash mathrm\{d\}^2\; f\; =\; \backslash mathrm\{d\}(f\text{'}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z)\; =\; \backslash mathrm\{d\}f\text{'}\; \backslash wedge\; \backslash mathrm\{d\}z$

에서 df'^영어도 dz^영어에 비례하여 도함수 df'^영어 자체가 정칙 함수이고, 따라서 f^영어가 무한히 미분 가능하다는 것을 의미한다. 마찬가지로 d(f\,dz ) = f'\,dz \wedge dz = 0^영어는 단일 연결 영역 U^영어에서 정칙 함수인 모든 함수 f^영어가 U^영어에서 적분 가능함을 의미한다.

(경로 \gamma^영어가 z_0^영어에서 z^영어까지 U^영어 내에 완전히 놓여 있는 경우 F_\gamma(z) = F(0) + \int_\gamma f\,dz^영어로 정의한다. 조르단 곡선 정리와 스토크스 정리를 고려하면 F_\gamma(z)^영어는 특정 경로 \gamma^영어의 선택과 무관하며, 따라서 F(z)^영어는 dF = f\,dz^영어 또는 를 갖는 U^영어에서 잘 정의된 함수이다.

정칙 함수는 복소 함수(복소수를 변수로 하고, 복소수를 값으로 갖는 함수) 중에서, 대상이 되는 영역 내의 모든 점에서 미분 가능한 함수이다. 모든 점에서 미분 가능하다는 성질을 "정칙성"이라고 부른다.^[19][20][21] 다항식 함수나 지수 함수, 삼각 함수, 로그 함수, 감마 함수, 제타 함수 등, 복소 해석에서 중심적인 역할을 하는 많은 함수는 이 정칙성을 갖는다.^[22][23]

정칙 복소 함수는 그 도함수도 정칙하다. 즉, 미분 연산을 무제한으로 반복해도 된다.^[20] 실변수 함수처럼 도함수가 미분 불가능하게 되어 미분 횟수가 제한되는 일은 일어나지 않는다. 미분 가능 횟수에 대해 언급하는 일도 없다. 실수 함수와는 전혀 다른 점이다.

복소 함수의 미분 가능성의 특징은, 그 미분의 정의에 기인한다. 복소 함수의 미분은 실수축 및 허수축이라는 2차원 평면 내의 임의의 방향을 따라 추정할 수 있지만, 이것을 모두 유일하게 한다. 즉, 어떤 방향을 보아도 동일한 값을 갖는 것으로 정의되어 있다. 따라서 방향을 정하고 한 번에 한 방향만 보는 실수 공간의 편미분보다, 복소 변수 공간의 미분이 제약이 더 엄격하다. 연속인 것만으로는 충분하지 않다.

어떤 임의의 점에 대해 보았을 때 주변의 증감이 그 점에 대해 축대칭이면 정칙하다. 이것을 만족할 때 실수 성분 및 허수 성분을 나타내는 함수는 각각 조화 함수이다. 또한 실수 성분 및 허수 성분의 편도함수는 코시-리만 방정식을 만족한다^[24][25] (단, 역은 참이 아니다).

'''정칙 함수가 해석적인 것''' : 복소 해석에서의 정칙 함수는 몇 번이라도 미분 가능하며, 따라서 멱급수로 전개할 수 있다. 복소 함수에 관해, 그것이 정칙하다는 것과 해석 함수라는 것은 동의어이다. 또한, 일치성의 정리에 의해 정칙 함수는 그 특이점을 포함하지 않는 영역으로 유일하게 확장(해석적 연속)할 수 있는 경우가 있다.^[19][20][21]

가우스 평면의 전역에서 정칙인 복소 함수는 정함수라고 불린다. 또한, 정칙 함수의 몫으로 얻어지는 함수는 유형 함수라고 한다.^[19][20][21]

''f'', ''g''를 영역 ''U''에서 정의되는 정칙 함수로 한다. 또한 α, β를 복소수의 상수라고 하면

• 선형성: $\backslash frac\{d(\backslash alpha\; f\; +\; \backslash beta\; g)\}\{dz\}$

• 라이프니츠 법칙: $\backslash frac\{d(fg)\}\{dz\}$

• 연쇄 법칙: $$

4. 예

• 전해석 함수는 복소 평면 전체에서 정칙인 함수이다. 복소 계수를 갖는 z의 모든 다항 함수, 지수 함수 $\backslash exp\; z$, 삼각 함수 $\backslash cos\{z\}\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash bigl(\; \backslash exp(+iz)\; +\; \backslash exp(-iz)\backslash bigr)$ 및 $\backslash sin\{z\}\; =\; -\backslash tfrac\{1\}\{2\}\; i\; \backslash bigl(\backslash exp(+iz)\; -\; \backslash exp(-iz)\backslash bigr)$ (오일러 공식 참조)는 전해석 함수이다.
• 주 분지 복소 로그 함수 $\backslash log\; z$는 $\backslash mathbb\; C\; \backslash smallsetminus\; \backslash \{\; z\; \backslash in\; \backslash R\; :\; z\; \backslash le\; 0\backslash \}$ 영역에서 정칙이다.
• 제곱근 함수는 $\backslash sqrt\{z\}\; \backslash equiv\; \backslash exp\; \backslash bigl(\backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash log\; z\backslash bigr)$로 정의할 수 있으며, 로그 $\backslash log\; z$가 정의된 곳이면 어디에서나 정칙이다.
• 역수 함수 $\backslash tfrac\{1\}\{z\}$는 $\backslash C\; \backslash smallsetminus\; \backslash \{\; 0\; \backslash \}$에서 정칙이다.
• 리만 곡면 $\backslash Sigma$ 위의 유리형 함수는 $\backslash Sigma\backslash to\backslash hat\{\backslash mathbb\; C\}$ 정칙 함수이다 ($\backslash hat\{\backslash mathbb\; C\}$는 리만 구).
• 복소 타원 곡선 $E$ 위의 타원 함수는 $E\backslash to\backslash hat\{\backslash mathbb\; C\}$ 정칙 함수이다.
• 코시-리만 방정식에 따라, 임의의 실수 값을 갖는 정칙 함수는 반드시 상수 함수여야 한다. 따라서 절댓값 $|z|$, 편각 $\backslash arg\; z$, 실수부 $\backslash operatorname\{Re\}(z)$ 및 허수부 $\backslash operatorname\{Im\}(z)$는 정칙이 아니다.
• 켤레 복소수 $\backslash bar\; z$는 정칙이 아닌 연속 함수의 예시이다. (켤레 복소수는 반정칙이다.)
• 함수 $z\backslash mapsto|z|^2$는 (실수 평면 위의 함수로서) 매끄러운 함수이지만, 그 어느 점에서도 정칙 함수가 아니다.

5. 해석적 연속 (Analytic Continuation)

어떤 영역 ''E''에서 정의된 정칙 함수 ''h''(''z'')가 있고, ''E''를 포함하는 영역 ''D''에서 정의된 정칙 함수 ''f''(''z'')가 ''E''에 포함되는 모든 ''z''에 대해 h(z)|h(z)^영어 = f(z)|f(z)^영어를 만족하면, ''f''를 ''h''의 (''D''에서의) '''해석적 연속'''이라고 부른다. 또한 ''h''는 ''f''에 의해 ''D''까지 '''해석적 연속 가능'''하다고 한다.^[26][27] 정칙 함수에 관한 일치의 정리에 따르면, 국소적으로 항등적으로 같은 정칙 함수는 대역적으로 일치하므로, 해석적 연속은 두 정칙 함수 ''h'', ''f''의 정의역 ''E''와 ''D''가 공통 부분 ''E'' ∩ ''D''를 가질 때, 모든 z ∈ E ∩ D|z ∈ E ∩ D^영어에 대해 h(z)|h(z)^영어 = f(z)|f(z)^영어이면, ''h''와 ''f''는 영역의 합집합 ''E'' ∪ ''D''까지 확장된 영역에서 정의된 정칙 함수로 간주할 수 있다.^[26][27]

즉, 어떤 영역에서의 (국소적인) 정칙 함수는 하나의 큰 (대역적인) 정칙 함수의 국소적인 모습이며, 해석적 연속은 국소적인 함수와 그 정의역을 조립하여 대역적인 정칙 함수를 나타내는 방법으로 간주할 수 있다.^[26][27] 이러한 관점에서 정칙 함수는 해석적 연속을 가능한 한 시행하여 정의역을 확대한 것으로 생각하는 것이 자연스럽다.

처음에 주어진 정칙 함수를 해석적 연속했을 때, 가우스 평면 내의 영역에서 더 이상 해석적 연속을 할 수 없는 극대 단일 연결 영역이 존재할 경우에는 그다지 문제가 일어나지 않지만, 일반적으로 특이점 주변에서 "이상한 거동"이 나타나 상황이 복잡해지므로, 대역적인 논의는 그렇게 단순하지 않다. 예를 들어, 국소적으로 일가 함수인 정칙 함수도 대역적으로 다가 함수가 되는 경우가 있다.

한편, 국소적으로 성립하는 함수 등식은 해석적 연속에 의해 대역적인 논의로 옮겨도 보존된다 ('''함수 관계 불변'''의 법칙 또는 정리)는 것이 알려져 있으며, 특징적인 함수 등식이 판명된 감마 함수나 리만 ζ 함수 등의 해석적 연속은 종종 함수 등식을 사용하여 수행된다.^[22][23]

6. 다변수 정칙 함수

여러 복소변수의 정칙 함수는 간단한 방식으로 일반화된다. n개의 복소변수 함수 f \colon ( z_1, z_2, \ldots, z_n ) \mapsto f( z_1, z_2, \ldots, z_n )^영어는 p점에서 f가 n개의 복소변수에 대한 수렴하는 멱급수와 같은 값을 갖는 p의 근방이 존재하면 해석적이다.^[16] 함수 f는 Cⁿ의 열린 부분 집합 U에서 각 점 U에서 해석적이면 정칙이다. Osgood의 보조정리는 (다변수 코시 적분 공식을 사용하여) 연속 함수 f에 대해 이는 f가 각 변수별로 정칙인 것과 동일함을 보여준다(즉, n-1개의 좌표가 고정된 경우 f의 제한은 나머지 좌표의 정칙 함수이다). 훨씬 더 심오한 Hartogs의 정리는 연속성 가정이 불필요하다는 것을 증명한다. f는 각 변수별로 정칙일 때만 정칙이다.

더 일반적으로, 정의역의 모든 컴팩트 부분 집합에 대해 제곱 적분 가능한 여러 복소 변수의 함수는 분포의 의미에서 코시-리만 방정식을 만족하는 경우에만 해석적이다.

여러 복소 변수의 함수는 어떤 기본적인 면에서 단일 복소 변수의 함수보다 더 복잡하다. 예를 들어, 멱급수의 수렴 영역은 반드시 열린 공일 필요는 없다. 이러한 영역은 로그-볼록한 Reinhardt domain이며, 가장 간단한 예는 polydisk이다. 그러나 몇 가지 근본적인 제한도 있다. 단일 복소 변수의 함수와 달리, 더 큰 영역으로 확장할 수 없는 정칙 함수가 있는 가능한 영역은 매우 제한적이다. 이러한 집합을 정칙 영역이라고 한다.

복소 미분 (p,0)-형식 α는 그 반정칙 Dolbeault 미분이 0일 때만 정칙이다.

7. 함수 해석학으로의 확장

함수 해석학의 무한 차원 공간으로 정칙 함수의 개념을 확장할 수 있다. 예를 들어, 프레셰 미분 또는 게토 미분을 사용하여 복소수 체 위의 바나흐 공간에서 정칙 함수의 개념을 정의할 수 있다.

8. 어원

"Holomorphic"(정칙 함수)라는 용어는 오귀스탱 루이 코시의 제자인 샤를 브리오와 장클로드 부케가 도입하였다.^[9][10] 이는 그리스어 ὅλος|홀로스^grc(전체)와 μορφή|모르페^grc(형태)의 합성어이다. 코시는 "synectic"(결합성)이라는 용어를 사용하기도 했다.^[11]

참조

_[1] 간행물 Analytic functions of one complex variable https://www.encyclop[...] European Mathematical Society / Springer
_[2] 간행물 Analytic function 2021-02-26
_[3] 서적 Complex Analysis, 3 ed. McGraw-Hill
_[4] 서적 Applied and Computational Complex Analysis Wiley
_[5] 서적 Complex Analysis https://books.google[...] Springer
_[6] 서적 Theory of Functions of a Complex Variable Prentice-Hall
_[7] 서적 Analytic Functions of Several Complex Variables https://books.google[...] Prentice-Hall
_[8] 논문 When is a function that satisfies the Cauchy-Riemann equations analytic? 1978-04
_[9] 서적 Théorie des fonctions elliptiques Gauthier-Villars
_[10] 서적 A Treatise on the Theory of Functions Macmillan
_[11] 서적 Théorie des fonctions doublement périodiques Mallet-Bachelier
_[12] 서적 Applied and Computational Complex Analysis https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[13] 서적 Partial Differential Equations American Mathematical Society
_[14] 서적 Complex Analysis Springer Verlag
_[15] 서적 Real and Complex Analysis McGraw–Hill Book Co.
_[16] 서적 Analytic Functions of Several Complex Variables
_[17] 문서 岩波基礎講座シリーズ。例えば清水英男『保型関数』。ハーツホーン『代数幾何学』でもこの訳語が採用されている。
_[18] 웹사이트 Holomorphic Function http://mathworld.wol[...] MathWorld 2016-06-17
_[19] 서적 解析入門II 東京大学出版会
_[20] 서적 複素解析 岩波書店
_[21] 서적 複素関数論 学術図書出版社
_[22] 서적 工学における特殊関数 共立出版
_[23] 문서 Special functions Cambridge University Press
_[24] 웹사이트 Cauchy-Riemann Equations. http://mathworld.wol[...] MathWorld--A Wolfram Web Resource
_[25] 웹사이트 Cauchy-Riemann equations. http://www.encyclope[...]
_[26] 웹사이트 Analytic Continuation. http://mathworld.wol[...] MathWorld--A Wolfram Web Resource
_[27] 웹사이트 Analytic continuation. http://www.encyclope[...]